Следуя [32,33], -й узел назовем терминальным или оконечным, если
. Основной результат формулируется следующим образом.
Теорема 1.1 [43, C.132]
. Для того, чтобы стационарное распределение открытой сети с многорежимными стратегиями обслуживания в узлах представлялось в форме произведения (2.1.2), необходимо и достаточно, чтобы в нетерминальных узлах выполнялось условие
При выполнении этого условия для эргодичности марковского процесса , описывающего поведение сети, достаточно, чтобы сходился ряд
где – положительное решение уравнения трафика (2.1.1),
причем для случаев, когда не определены, они полагаются равными нулю.
Д о к а з а т.е. л ь с т в о. В для открытых сетей с «заявкосохраняющими» узлами установлено, что для мультипликативности стационарного распределения необходимо и достаточно, чтобы нетерминальные узлы являлись квазиобратимыми. Поэтому, с учетом условия квазиобратимости (2.1.16) для изолированного узла, которое для узла с номером
принимает форму (2.1.24), имеет место первое утверждение теоремы.
Докажем, что при выполнении условия (2.1.24) процесс эргодичен. Как отмечалось ранее,
неприводим. Остается воспользоваться эргодической теоремой Фостера
, согласно которой достаточно проверить, что система уравнений
где – интенсивность перехода
из состояния
в состояние
;
, определяемая посредством (2.1.26), – интенсивность выхода
из состояния
, имеет нетривиальное решение
такое, что
. Действительно, беря
, где
определяется (2.1.2), получим, что (2.1.27) превращаются в глобальные уравнения равновесия для сети, которым
удовлетворяет. А ряд
сходится, так как его члены отличаются от членов ряда (2.1.25) постоянным множителем.
Другие публикации
Генераторы ВЧ фирм Rohde&Sсhwarz, Agilent Technology
Электронный генератор представляет собой устройство,
преобразующее электрическую энергию источника постоянного тока в энергию
незатухающих электрических колебаний ...
Спутниковые системы навигации
Идея создания спутниковой навигации родилась ещё в 50-е годы. В
тот момент, когда СССР был запущен первый искусственный спутник Земли,
американские учёные во главе с ...