Стационарное распределение сети

Следуя [32,33], -й узел назовем терминальным или оконечным, если . Основной результат формулируется следующим образом.

Теорема 1.1 [43, C.132]

. Для того, чтобы стационарное распределение открытой сети с многорежимными стратегиями обслуживания в узлах представлялось в форме произведения (2.1.2), необходимо и достаточно, чтобы в нетерминальных узлах выполнялось условие

При выполнении этого условия для эргодичности марковского процесса , описывающего поведение сети, достаточно, чтобы сходился ряд

где – положительное решение уравнения трафика (2.1.1),

причем для случаев, когда не определены, они полагаются равными нулю.

Д о к а з а т.е. л ь с т в о. В для открытых сетей с «заявкосохраняющими» узлами установлено, что для мультипликативности стационарного распределения необходимо и достаточно, чтобы нетерминальные узлы являлись квазиобратимыми. Поэтому, с учетом условия квазиобратимости (2.1.16) для изолированного узла, которое для узла с номером принимает форму (2.1.24), имеет место первое утверждение теоремы.

Докажем, что при выполнении условия (2.1.24) процесс эргодичен. Как отмечалось ранее, неприводим. Остается воспользоваться эргодической теоремой Фостера , согласно которой достаточно проверить, что система уравнений

где – интенсивность перехода из состояния в состояние ; , определяемая посредством (2.1.26), – интенсивность выхода из состояния , имеет нетривиальное решение такое, что . Действительно, беря , где определяется (2.1.2), получим, что (2.1.27) превращаются в глобальные уравнения равновесия для сети, которым удовлетворяет. А ряд сходится, так как его члены отличаются от членов ряда (2.1.25) постоянным множителем.

Другие публикации

Проектирование удаленного устройства индикации
Широко распространенное семейство микроконтроллеров MCS51, выпускаемое целым рядом фирм-производителей (Intel, Philips, Temic, OKI, Siemens и др.), уже являлось де- ...

Эксплуатационные измерения канального уровня
К группе измерений канального уровня можно отнести следующие группы измерений: - измерения параметров битовых ошибок; - измерения блоковых ошибок, в том числе о ...